Buenas,

Lo de hacerlo depende de tus conocimientos, como te comente es cuestion de como prefieras.
Por ejemplo puedes usar la main query y luego en search.php lo separas o modificas la main query para que solo muestre los post y luego en el search.php hacer otra query pero solo para las pages, custom post type.

Yo prefiero la primera ya que solo hacer una consulta y no tendrias problemas con la paginacion ya que si no hubiesen posts o pages seria indiferente.
Ejemplo sin probar del action:

function javier_pre_get_posts( $wp_query ) {
	if ( ! is_admin() && $wp_query->is_main_query() && $wp_query->is_search() ) {
		$wp_query->set( 'orderby', array( 'post_type' => 'DESC', 'post_title' => 'DESC' ) );
	}
}
add_action( 'pre_get_posts', 'javier_pre_get_posts', 10 );

Luego en el search.php yo simplemente haria algo como esto, igual que antes no esta probado.

<?php if ( have_posts() ) : ?>
	<?php static $cpt, $pt = null; // definimos las variables para detectar el cambio del post type. ?>
	<?php while ( have_posts() ) : the_post(); ?>

		<?php 
			global $post; // Uso la global ya que get_post_type podria devolver un boolean si fallase.

			// Creamos el primer contenedor con una clase dinamica por si queremos aplicar un estilo personalizado.
			if ( is_null( $cpt ) && is_null( $pt ) ) {
				$cpt = $pt = ( isset( $post->post_type ) ? sanitize_html_class( $post->post_type, '' ) : '' );
				printf( '<div class="search-section search-section-%s">', $pt );

				// Aqui se puede añadir otra cosa como un titulo.
				
			} else {
				// Actualizamos una de las variables para detectar el cambio y si es necesario cerrarmos el ultimo contenedor y crearmos otro.
				$cpt = ( isset( $post->post_type ) ? sanitize_html_class( $post->post_type, '' ) : '' );
				if ( $cpt !== $pt ) {
					printf( '</div><div class="search-section search-section-%s">', $cpt );

					// Aqui se puede añadir otra cosa como un titulo.
					
				}
			}
			
			// Aqui el codigo del post.
			
			// Cerramos el primer contenedor o el ultimo contenedor creado.
			echo '</div>';
			?>

	<?php endwhile; ?>
<?php endif; ?>

Sobre tu ultima pregunta, si el contenido y el codigo es el mismo deberia funcionar. Aqui no puedo ayudarte, porque hay muchos factores que pueden interferir, dudo mucho que sea el servidor.

• Esta respuesta fue modificada hace 2 meses por  kallookoo.

Una cosa,
Te refieres que no muestra absolutamente nada, es decir el header, sidebar (si hubiese) y el footer.
Si es asi, activa en el de produccion la constante ‘WP_DEBUG’ para ver los errores. Mas info aqui: https://codex.wordpress.org/Editing_wp-config.php#Debug

Es posible que algo no sea compatible en el servidor, te entendi que no te aparecian resultados y por eso descarte el servidor.