Hola
La caché de navegador almacena partes de la web en el ordenador del usuario, de manera que no tiene que descargarlas cada vez que visita la web, únicamente la primera vez, por lo que la visualización es mucho más rápida. El inconveniente es que si haces modificaciones en la web el visitante posiblemente no las vea al no cargar partes de ella. Por ejemplo, si modificas una imagen y el usuario la tiene en la cache de su navegador es posible que no descargue la nueva sino que vea la versión anterior.
La cache de servidor almacena en el servidor copias de las páginas para entregarlas inmediatamente, sin tener que generarlas dinámicamente. Al no tener que generar las páginas con cada visita consume menos recursos y también entrega el resultado mucho más rápidamente, con el mismo inconveniente anterior, si modificas una página tienes que borrar la versión en cache y generar una nueva (purgar y crear nuevamente) o te arriesgas a que no se vean las últimas versiones.
El manejo de cache depende del servidor que estés usando, hay algunos que tienen herramientas propias para gestionarlo y otros no, también tienes plugins para ello, por ejemplo:
https://es.wordpress.org/plugins/search/cache/
Para más información:
Estrategias de caché en WordPress
Plugins de cache para optimizar WordPress
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