Cambio de Nombre (Dominio) de toda una web

Hola, tengo que realizar una operación delicada y necesito un buen asesoramiento ya que es la primera vez que me encuentro con este caso.
Tengo una web entera acabada. El proyecto inicial se llamaba «X» y ahora el proyecto se llama «Z». La web está perfectamente acabada hasta el último detalle con muchos cuidados en su diseño y necesito cambiar el nombre de la url (el nombre de la web entera vaya). No tengo ni idea de qué debo hacer para cambiarlo sin que me cambie ni un solo pelo del diseño y de toda la web. Alguien podría explicarme (para principiantes ya que nunca he realizado esta operación) los pasos a seguir para hacerlo con éxito?

Muchísimas gracias