Columna personalizada en listado CPT (Backend))

Hola a todos, estoy haciendo un plugin para mi web que crea un Custom Post «Clases» y he registrado para el una nueva taxonomía llamada «tipo-contenido» que sirve para categorizarlo. Me gustaría que esta taxonomía se viese como columna en el Back de WP igual que pasa con las categorías de las entradas pero no logro que la pinte.
Con el mismo código he probado a que en la columna me cargue el contenido de otro campo personalizado que he creado con el plugin ACF y este si me lo pinta.
Os paso el código que utilizo a ver si podéis ver donde estoy fallando, muchas gracias.

// Añadir columnas con los tipos de datos personalizados
add_filter('manage_edit-clases_columns', 'mis_columnas');
function mis_columnas($columns) {
    $columns['tipo-contenido'] = 'Tipo contenido';
    return $columns;
}

// Añadir valores a las columnas personalizadas
add_action('manage_clases_posts_custom_column',  'contenido_mis_columnas');
function contenido_mis_columnas($name) {
    global $post;
    switch ($name) {
        case 'tipo-contenido':
            $tipo = get_post_meta($post->ID, 'tipo-contenido', true);
            echo $tipo;
    }
}

// Hacer la columna ordenable
add_filter( 'manage_edit-clases_sortable_columns', 'ordena_mis_columnas' );
function ordena_mis_columnas( $columns ) {
    $columns['tipo-contenido'] = 'Tipo contenido';
    return $columns;
}