Hola.
Bienvenido al foro de soporte. En teoría no debería estar en blanco, es obligatorio cuando haces la instalación, puedes añadirlo directamente en la base de datos, así te saltas la verificación.
De todas formas, el error te indica que el problema es con el servidor de correo, el correo de administración solo se usa para enviarte los mensajes.
Para poner el correo de administrador: tienes que entrar en el panel del servidor y buscar la gestión de bases de datos, desde phpMyAdmin accedes a la base de datos y haces una copia de seguridad.
Una vez tengas la copia de seguridad busca la tabla wp_options (es posible que tenga otro prefijo distinto a wp_) y en esa tabla busca la opción admin_email, ese es el correo de administración, edítala y pon en ese campo el correo que quieras para administración. Guarda el cambio y ya debería estar resuelto.
Con respecto a los correos que no se envían: puedes hacer un diagnóstico con alguno de estos plugins, te permiten enviar un correo de prueba:
WP Test Email
Check & Log Email
Si efectivamente el servidor no envía los correos tendrás que instalar un plugin para solucionarlo, en el repositorio también tienes varios plugins que te pueden ayudar:
WP Mail SMTP by WPForms
Easy WP SMTP
Te dejo un enlace con información al respecto:
Si WordPress no manda emails ¿cómo solucionarlo?
Comenta el resultado de tus pruebas o si tienes alguna duda y, por favor, recuerda marcar el debate como resuelto cuando así sea, de esta forma nos ayudas a mantener el foro al día.