Hola.
Puedes hacer tal y cual comentas, copias la carpeta con el nuevo tema en el original, exportas las entradas y páginas y las importas en el sitio original (ya te da la opción de importar los adjuntos también), en cuanto a las personalizacones, menús y los widgets tienes plugins para ello en el repositorio:
Customizer Export/Import
WPS Menu Exporter
Widget Importer & Exporter
Los plugins son otra cosa, tendrías que instalarlos y configurarlos nuevamente.
Otra opción es exportar clientes, productos y pedidos de la tienda original, importarlos a la nueva tienda y hacer el cambio de urls. Por supuesto, tendrías que cerrar la web por mantenimiento durante el proceso de exportar clientes y pedidos, pero no tiene por que ser ningún inconveniente, normalmente esos procesos se hacen por las noches, que suele ser el momento en el que no hay movimiento. Para exportar e importar tienes plugins en el repositorio, pero es posible que tengas que ir a versiones premium:
Order Export & Order Import for WooCommerce
Product Import Export for WooCommerce
Export any WordPress data to XML/CSV
Import any XML or CSV File to WordPress
Otra opción sería hacer una copia en staging del sitio original y modificarlo directamente. Para eso tienes el plugin:
WP Staging – DB & File Duplicator & Migration
Te dejo un enlace a la documentación de este último plugin donde tienes la explicación de como hacer el volcado en la base de datos sin perder los pedidos de WooCommerce:
Skip WooCommerce Orders and Products
Revisa la documentación y coméntanos cualquier detalle que te surja, por supuesto, antes de hacer nada haz copia de seguridad del sitio de forma que puedas recuperar todo en caso de problemas.