Quién me puede dar una ayuda?

He creado un boton con html personalizado que lo que hace es abrir una ventana emergente y esta ventana emergente contiene un formulario de contacto. El proposito mio es que al momento del usuario llenar todo el formulario, que le de al boton de enviar y me llegue ese correo al correo de mi pagina. El problema es que al dar click en enviar me da el mensaje de que el mensaje se fue, pero lamentablemente yo no recibo ningun correo. Es decir, no me llega nada… yo entre a wp-content/themas/blocksy y cree un archivo llamado: send_email.php y en este archivo yo pegue el siguiente codigo PHP:

<?php

if ($_SERVER["REQUEST_METHOD"] == "POST") {

    $nombre = $_POST['nombre'];

    $apellido = $_POST['apellido'];

    $correo = $_POST['correo'];

    $asunto = $_POST['asunto'];

    $mensaje = $_POST['mensaje'];

    $to = 'paginaweb@creacionpaginaweb.net';

    $subject = "Nuevo mensaje de contacto: $asunto";

    $body = "Nombre: $nombre\nApellido: $apellido\nCorreo: $correo\nAsunto: $asunto\nMensaje: $mensaje";

    $headers = "From: $correo";

    if (mail($to, $subject, $body, $headers)) {

        echo 'Correo enviado con éxito.';

    } else {

        echo 'Error al enviar el correo.';

    }

}

?>

AQUI LES DEJARE EL CODIGO COMPLETO PARA EL QUE PUEDA AYUDARME Y ESTARE SUMAMENTE AGRADECIDO:

<button class="btn-enviar" onclick="document.getElementById('myModal').style.display='block'" style="width: 160px; padding: 10px; background-color: #ff4f4f; color: white; text-align: center; border: 1px solid black; border-radius: 10px; cursor: pointer; transition: background-color 0.3s;">
    Enviar Correo
</button>
<!-- El Modal -->
<div id="myModal" class="modal" style="display: none; position: fixed; z-index: 1; left: 0; top: 0; width: 100%; height: 100%; overflow: auto; background-color: rgba(0,0,0,0.6); padding-top: 60px;">
    <div class="modal-content" style="background-color: #fefefe; margin: 5% auto; padding: 20px; border: 1px solid #888; width: 80%; max-width: 500px; border-radius: 10px;">
        <span class="close" onclick="document.getElementById('myModal').style.display='none'" style="color: #aaa; float: right; font-size: 28px; font-weight: bold; cursor: pointer;">&times;</span>
        <h2 style="text-align: center; font-size: 16px;">Formulario de Contacto</h2>
        <form id="contactForm" onsubmit="return sendForm();">
            <div class="form-group" style="margin-bottom: 15px;">
                <label for="nombre" style="display: block; text-align: center; color: #ff4f4f; font-weight: bold; font-family: Georgia, Serif;">Nombre</label>
                <input type="text" id="nombre" style="width: 100%; padding: 10px; border: 1px solid #ccc; border-radius: 10px;" required>
            </div>
            <div class="form-group" style="margin-bottom: 15px;">
                <label for="apellido" style="display: block; text-align: center; color: #ff4f4f; font-weight: bold; font-family: Georgia, Serif;">Apellido</label>
                <input type="text" id="apellido" style="width: 100%; padding: 10px; border: 1px solid #ccc; border-radius: 10px;" required>
            </div>
            <div class="form-group" style="margin-bottom: 15px;">
                <label for="correo" style="display: block; text-align: center; color: #ff4f4f; font-weight: bold; font-family: Georgia, Serif;">Correo</label>
                <input type="email" id="correo" style="width: 100%; padding: 10px; border: 1px solid #ccc; border-radius: 10px;" required>
            </div>
            <div class="form-group" style="margin-bottom: 15px;">
                <label for="asunto" style="display: block; text-align: center; color: #ff4f4f; font-weight: bold; font-family: Georgia, Serif;">Asunto</label>
                <input type="text" id="asunto" style="width: 100%; padding: 10px; border: 1px solid #ccc; border-radius: 10px;" required>
            </div>
            <div class="form-group" style="margin-bottom: 15px;">
                <label for="mensaje" style="display: block; text-align: center; color: #ff4f4f; font-weight: bold; font-family: Georgia, Serif;">Mensaje</label>
                <textarea id="mensaje" style="width: 100%; padding: 10px; border: 1px solid #ccc; border-radius: 10px; resize: vertical; height: 100px;" required></textarea>
            </div>
            <button type="submit" class="btn-submit" style="background-color: #ff4f4f; color: white; padding: 10px 15px; border: 1px solid black; border-radius: 10px; cursor: pointer; display: block; margin: 0 auto; font-weight: bold;">Enviar</button>
        </form>
    </div>
</div>

<script>

    // Cerrar el modal cuando el usuario hace clic fuera de él
    window.onclick = function(event) {
        if (event.target == document.getElementById('myModal')) {
            document.getElementById('myModal').style.display = "none";
        }
    }

function sendForm() {
    var form = document.getElementById('contactForm');
    var formData = new FormData(form);

    fetch('send_email.php', {
        method: 'POST',
        body: formData
    })
    .then(response => response.text())
    .then(data => {
        console.log(data); // Verifica la respuesta del servidor
        alert('Correo enviado con éxito.'); // Mensaje de éxito
        form.reset(); // Limpia el formulario
        document.getElementById('myModal').style.display = 'none'; // Cierra el modal
    })
    .catch(error => {
        console.error('Error:', error);
        alert('Error al enviar el correo.');
    });

    return false; // Evita el envío normal del formulario
}

</script>

<style>
    .btn-enviar:hover {
        background-color: #e63939; /* Color más oscuro al pasar el ratón */
    }
    
    .btn-submit:hover {
        background-color: #e63939; /* Color más oscuro al pasar el ratón */
    }
</style>

<?php
if ($_SERVER["REQUEST_METHOD"] == "POST") {
    $nombre = $_POST['nombre'];
    $apellido = $_POST['apellido'];
    $correo = $_POST['correo'];
    $asunto = $_POST['asunto'];
    $mensaje = $_POST['mensaje'];

    $to = 'paginaweb@creacionpaginaweb.net';
    $subject = "Nuevo mensaje de contacto: $asunto";
    $body = "Nombre: $nombre\nApellido: $apellido\nCorreo: $correo\nAsunto: $asunto\nMensaje: $mensaje";
    $headers = "From: $correo";

    if (mail($to, $subject, $body, $headers)) {
        echo 'Correo enviado con éxito.';
    } else {
        echo 'Error al enviar el correo.';
    }
}
?>