1) Usando un programa de FTP, como Filezilla (gratis), descarga todos los archivos de WP a tu computadora.
2) Entra al control panel de tu sitio actual, utilizando un programa como phpMyAdmin descarga la base de datos a tu computadora, es un archivo que termina en sql.
3) En el nuevo sitio, que supongo es de igual nombre, nuevo servidor, crea una base de datos y usuario igual como aparece en el archivo wp-config.php
4) Utilizando de nuevo phpMyAdmin del nuevo servidor, busca el banco de datos que recien creaste y sube el archivo que bajaste a tu computadora.
Si hiciste todo bien, tu sitio estará de nuevo funcionando. Buena suerte.