Muchas gracias por tu mensaje, juraría que lo que me dices ya lo probé y no funcionó. Lo volveré a intentar de nuevo.
Si quieres que el mismo usuario una vez logueado pueda cambiar de web dentro del mismo multisite debes añadirlo a todos los sitios.
Es decir, tu tienes una lista de usuarios de la red donde están todos los usuarios y otro subconjunto de esta para cada sitio. Tienes que añadir los usuarios a todos los sitios.
Entra como Superadmin en el sitio al que quieras añadir el usuario.
Y lo añades poniendo el correo electrónico en la sección: Añadir usuario existente
Una vez loqueado con ese usuario, podrás cambiar de un sitio a otro sin desloguearte.
Lo acabo de probar con un usuario editor y me ha funcionado.