En el archivo error_log he encontrado registrado esto, se muestra repetidas veces a lo largo del día de hoy:
[15-Sep-2019 11:19:13 UTC] PHP Fatal error: Allowed memory size of 41943040 bytes exhausted (tried to allocate 20480 bytes) in /home/…/wp-includes/pomo/mo.php on line 323
Parece que era un problema de permisos de memoria. La he ampliado a 128M y ahora puedo activar los pluggins perfectamente.
Muchas gracias por su ayuda, Adrián.
Update:
Activando uno a uno los pluggins ha empezado a funcionar, pero he comprobado que no es uno solo el que da error, si no varios. Parte del diseño de la web se ha perdido (está basado en una app que da fallos) y aplicaciones de Woocommerce también fallan, a pesar de que mirando sus características se supone que son compatibles con mi versión de WP (no quizás con la de PHP, pero teniendo en cuenta que ni siquiera es la última versión, me sorprende que fallen). Ahora sí creo que es un problema de incompatibilidad por haber actualizado PHP.
Acabo de probar cambiando el nombre de la carpeta de pluggins, de la carpeta themes, y activando el modo debug, y nada.