Me contesto a mi mismo 🙂 Ya he conseguido identificar de dónde sale el menú azul, es el modo «Mobile» del que dispone el propio JetPack. Supongo que «chocaba» con el propio sistema responsive de la plantilla Brooklyn, y es por eso que en según que momentos salía el uno u el otro (no sé bien qué hacía que se disparara uno u otro). Por lo menos tenemos identificado de dónde sale el dichoso menú azul: https://jetpack.me/support/mobile-theme/
